Giải bài 5, 6, 7 trang 80 SGK Hình học 12

Bài 5 trang 80 – SGK Hình học 12

Cho tứ diện có những đỉnh là \ ( A ( 5 ; 1 ; 3 ), B ( 1 ; 6 ; 2 ), C ( 5 ; 0 ; 4 ), D ( 4 ; 0 ; 6 ) \ ) .
a ) Hãy viết những phương trình mặt phẳng \ ( ( ACD ) \ ) và \ ( ( BCD ) \ )

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Giải:

a ) Mặt phẳng \ ( ( ADC ) \ ) đi qua \ ( A ( 5 ; 1 ; 3 ) \ ) và chứa giá của những vectơ \ ( \ overrightarrow { AC } ( 0 ; – 1 ; 1 ) \ ) và \ ( \ overrightarrow { AD } ( – 1 ; – 1 ; 3 ) \ ) .
Vectơ \ ( \ overrightarrow { n } = \ left [ \ overrightarrow { AC }, \ overrightarrow { AD } \ right ] = ( – 2 ; – 1 ; – 1 ) \ ) vuông góc với mặt phẳng \ ( ( ACD ) \ ) .
Phương trình \ ( ( ACD ) \ ) có dạng :
\ ( 2 ( x – 5 ) + ( y – 1 ) + ( z – 3 ) = 0 \ ) .
hay \ ( 2 x + y + z – 14 = 0 \ ) .
Tương tự : Mặt phẳng \ ( ( BCD ) \ ) qua điểm \ ( B ( 1 ; 6 ; 2 ) \ ) và nhận vectơ \ ( \ overrightarrow { m } = \ left [ \ overrightarrow { BC }, \ overrightarrow { BD } \ right ] \ ) làm vectơ pháp tuyến .
Ta có : \ ( \ overrightarrow { BC } ( 4 ; – 6 ; 2 ) \ ), \ ( \ overrightarrow { BD } ( 3 ; – 6 ; 4 ) \ ) và
\ ( \ overrightarrow { m } = \ left ( \ begin { vmatrix } – 6 và 2 \ \ – 6 và 4 \ end { vmatrix } ; \ begin { vmatrix } 2 và 4 \ \ 4 và 3 \ end { vmatrix } ; \ begin { vmatrix } 4 và – 6 \ \ 3 và – 6 \ end { vmatrix } \ right ) \ )
\ ( = ( – 12 ; – 10 ; – 6 ) \ )
Xét \ ( \ overrightarrow { m_ { 1 } } ( 6 ; 5 ; 3 ) \ ) thì \ ( \ overrightarrow { m } = – 2 \ overrightarrow { m_ { 1 } } \ ) nên \ ( \ overrightarrow { m_ { 1 } } \ ) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \ ( ( BCD ) \ ). Phương trình mặt phẳng \ ( ( BCD ) \ ) có dạng :
\ ( 6 ( x – 1 ) + 5 ( y – 6 ) + 3 ( z – 2 ) = 0 \ )
hay \ ( 6 x + 5 y + 3 z – 42 = 0 \ ) .
b ) Mặt phẳng \ ( ( α ) \ ) qua cạnh \ ( AB \ ) và song song với \ ( CD \ ) thì \ ( ( α ) \ ) qua \ ( A \ ) và nhận
\ ( \ overrightarrow { AB } ( – 4 ; 5 ; 1 ) \ ), \ ( \ overrightarrow { CD } ( – 1 ; 0 ; 2 ) \ ) làm vectơ chỉ phương .

Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] = (10 ; 9 ; 5)\) là vectơ pháp tuyến của \(( α )\).

Phương trình mặt phẳng \ ( ( α ) \ ) có dạng : \ ( 10 x + 9 y + 5 z – 74 = 0 \ ) .

Bài 6 trang 80 – SGK Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng \ ( ( α ) \ ) đi qua điểm \ ( M ( 2 ; – 1 ; 2 ) \ ) và song song với mặt phẳng
\ ( ( β ) \ ) có phương trình : \ ( 2 x – y + 3 z + 4 = 0 \ ) .

Giải:

Vectơ \ ( \ overrightarrow { n } ( 2 ; – 1 ; 3 ) \ ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \ ( ( β ) \ ) .
Vì \ ( ( α ) / / ( β ) \ ) nên \ ( \ overrightarrow { n } \ ) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \ ( ( α ) \ ) .
Phương trình mặt phẳng \ ( ( α ) \ ) có dạng :
\ ( 2 ( x – 2 ) – ( y + 1 ) + 3 ( z – 2 ) = 0 \ )
hay \ ( 2 x – y + 3 z – 11 = 0 \ ) .

Bài 7 trang 80 – SGK Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng \ ( ( α ) \ ) đi qua hai điểm \ ( A ( 1 ; 0 ; 1 ), B ( 5 ; 2 ; 3 ) \ ) và vuông góc với mặt phẳng : \ ( 2 x – y + z – 7 = 0 \ ) .

Giải:

Xét \ ( \ overrightarrow { n } = ( 2 ; 2 ; 1 ) \ bot ( β ) \ ). Do mặt phẳng \ ( ( α ) ⊥ ( β ) \ ) nên \ ( \ overrightarrow { n } \ ) là vectơ song song hay nằm trên \ ( ( α ) \ ). Vectơ \ ( \ overrightarrow { AB } \ ) có giá nằm trên \ ( ( α ) \ ) .

Vì \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{AB}\) không cùng phương nên \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB} \right ]= (4 ; 0 ; -8)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(( α)\). Mặt phẳng \(( α)\) qua \(A(1 ; 0 ; 1)\) và vuông góc với \(\overrightarrow{m}\) có phương trình :

\ ( 4 ( x – 1 ) + 0. ( y – 0 ) – 8 ( z – 1 ) = 0 \ ) .
hay \ ( x – 2 z + 1 = 0 \ ) .

Giaibaitap.me

Source: https://noithatthachcaovn.com
Category: Học tập