20190612051112baigiai

Bài 1, 2, 3 trang 112, 113 Giải tích 12: Tích phân

Học tập
Bài 2 : Tích phân. Giải bài 1, 2, 3 trang 112, 113 SGK Giải tích 12. Tính những tích phân sau ; Sử dụng chiêu thức biến hóa số, tính tích phân :

Bài 1 trang 112 – SGK Giải tích 12: Tính các tích phân sau:

a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)                    b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)

c ) \ ( \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } \ frac { 1 } { x ( x + 1 ) } dx \ ) d ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { 2 } x ( x + 1 ) ^ { 2 } dx \ )
e ) \ ( \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } \ frac { 1-3 x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } dx \ ) g ) \ ( \ int_ { \ frac { – \ pi } { 2 } } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } sin3xcos5xdx \ )

20190612051112baigiai

a ) \ ( \ int_ { \ frac { – 1 } { 2 } } ^ { \ frac { 1 } { 2 } } \ sqrt [ 3 ] { ( 1 – x ) ^ { 2 } } dx \ ) = \ ( – \ int_ { \ frac { – 1 } { 2 } } ^ { \ frac { 1 } { 2 } } ( 1 – x ) ^ { \ frac { 2 } { 3 } } d ( 1 – x ) = – \ frac { 3 } { 5 } ( 1 – x ) ^ { \ frac { 5 } { 3 } } | _ { \ frac { – 1 } { 2 } } ^ { \ frac { 1 } { 2 } } \ )
= \ ( – \ frac { 3 } { 5 } \ left [ \ frac { 1 } { 2 \ sqrt [ 3 ] { 4 } } – \ frac { 3 \ sqrt [ 3 ] { 9 } } { 2 \ sqrt [ 3 ] { 4 } } \ right ] = \ frac { 3 } { 10 \ sqrt [ 3 ] { 4 } } ( 3 \ sqrt [ 3 ] { 9 } – 1 ) \ )
b ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } sin ( \ frac { \ pi } { 4 } – x ) dx \ ) = \ ( – \ int_ { 0 } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } sin ( \ frac { \ pi } { 4 } – x ) d ( \ frac { \ pi } { 4 } – x ) \ ) = \ ( cos ( \ frac { \ pi } { 4 } – x ) | _ { 0 } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } \ )
= \ ( cos ( \ frac { \ pi } { 4 } – \ frac { \ pi } { 2 } ) – cos \ frac { \ pi } { 4 } = 0 \ )
c ) \ ( \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } \ frac { 1 } { x ( x + 1 ) } dx \ ) = \ ( \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } ( \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { x + 1 } ) dx = ln \ left | \ frac { x } { x + 1 } \ right | | _ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } = ln2 \ )
d ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { 2 } x ( x + 1 ) ^ { 2 } dx \ ) = \ ( \ int_ { 0 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x ) dx = ( \ frac { x ^ { 4 } } { 4 } + \ frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 } + \ frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) | _ { 0 } ^ { 2 } \ )
= \ ( \ frac { 16 } { 4 } + \ frac { 16 } { 3 } + 2 = 11 \ tfrac { 1 } { 3 } \ )
e ) \ ( \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } \ frac { 1-3 x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } dx \ ) = \ ( \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } \ frac { – 3 ( x + 1 ) + 4 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } dx = \ int_ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } \ left [ \ frac { – 3 } { x + 1 } + \ frac { 4 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \ right ] dx \ )
= \ ( \ left ( – 3.ln \ left | x + 1 \ right | – \ frac { 4 } { x + 1 } \ right ) | _ { \ frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } = \ frac { 4 } { 3 } – 3 ln2 \ )
g ) Ta có \ ( f ( x ) = sin3xcos5x \ ) là hàm số lẻ .
Vì \ ( f ( – x ) = sin ( – 3 x ) cos ( – 5 x ) \ )
\ ( = – sin3xcos5x = – f ( x ) \ )
nên :
\ ( \ int_ { \ frac { – \ pi } { 2 } } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } sin3xcos5x = 0 \ )Quảng cáo
Chú ý : Có thể tính trực tiếp bằng cách đặt \ ( x = – t \ ) hoặc đổi khác thành tổng .

Bài 2: Tính các tích phân sau:

a ) \ ( \ int_0 ^ 2 { \ left | { 1 – x } \ right | } dx \ ) b ) \ ( \ int_0 ^ { { \ pi \ over 2 } } s i { n ^ 2 } xdx \ )
c ) \ ( \ int_0 ^ { ln2 } { { { { e ^ { 2 x + 1 } } + 1 } \ over { { e ^ x } } } } dx \ ) d ) \ ( \ int_0 ^ \ pi s in2xco { s ^ 2 } xdx \ )

a ) Ta có \ ( 1 – x = 0 ⇔ x = 1 \ ) .
\ ( \ int_0 ^ 2 { \ left | { 1 – x } \ right | } dx = \ int_0 ^ 1 { \ left | { 1 – x } \ right | } dx + \ int_1 ^ 2 { \ left | { 1 – x } \ right | } dx \ )
\ ( = – \ int_0 ^ 1 { ( 1 – x ) } d ( 1 – x ) + \ int_1 ^ 2 { ( x – 1 ) } d ( x – 1 ) \ )
\ ( = – { { { { ( 1 – x ) } ^ 2 } } \ over 2 } | _0 ^ 1 + { { { { ( x – 1 ) } ^ 2 } } \ over 2 } | _1 ^ 2 = { 1 \ over 2 } + { 1 \ over 2 } = 1 \ )
b ) \ ( \ int_0 ^ { { \ pi \ over 2 } } s i { n ^ 2 } xdx \ )

\( = {1 \over 2}\int_0^{{\pi  \over 2}} {(1 – cos2x)} dx\)

\ ( = { 1 \ over 2 } \ left ( { x – { 1 \ over 2 } sin2x } \ right ) | _0 ^ { { \ pi \ over 2 } } = { \ pi \ over 4 } \ )Quảng cáo
c ) \ ( \ int_0 ^ { ln2 } { { { { e ^ { 2 x + 1 } } + 1 } \ over { { e ^ x } } } } dx = \ int_0 ^ { ln2 } { ( { e ^ { x + 1 } } + { e ^ { – x } } ) } dx \ )
\ ( = ( { e ^ { x + 1 } } – { e ^ { – x } } ) | _0 ^ { ln2 } = e + { 1 \ over 2 } \ )
d ) Ta có : \ ( sin2xcos ^ 2 x \ ) = \ ( { 1 \ over 2 } sin2x ( 1 + cos2x ) = { 1 \ over 2 } sin2x + { 1 \ over 4 } sin4x \ )

Do đó : \(\eqalign{
& \int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx = \int_0^\pi {({1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x)} dx \cr
& = ( – {1 \over 4}cos2x – {1 \over {16}}cos4x)|_0^\pi \cr
& = – {1 \over 4} – {1 \over {16}} + {1 \over 4} + {1 \over {16}} = 0 \cr} \).

Bài 3: Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { 3 } \ frac { x ^ { 2 } } { ( 1 + x ) ^ { \ frac { 3 } { 2 } } } dx \ ) ( Đặt \ ( u = x + 1 \ ) )
b ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { 1 } \ sqrt { 1 – x ^ { 2 } } dx \ ) ( Đặt \ ( x = sint \ ) )
c ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { 1 } \ frac { e ^ { x } ( 1 + x ) } { 1 + x. e ^ { x } } dx \ ) ( Đặt \ ( u = 1 + x. { e ^ x } \ ) )
d ) \ ( \ int_ { 0 } ^ { \ frac { a } { 2 } } \ frac { 1 } { \ sqrt { a ^ { 2 } – x ^ { 2 } } } dx \ ) ( Đặt \ ( x = asint \ ) )

a ) Đặt \ ( u = x + 1 \ Rightarrow du = dx \ ) và \ ( x = u – 1 \ ) .
Khi \ ( x = 0 \ ) thì \ ( u = 1, x = 3 \ ) thì \ ( u = 4 \ ). Khi đó :
\ ( \ int_ { 0 } ^ { 3 } \ frac { x ^ { 2 } } { ( 1 + x ) ^ { \ frac { 3 } { 2 } } } dx \ ) = \ ( \ int_ { 1 } ^ { 4 } \ frac { ( u-1 ) ^ { 2 } } { u ^ { \ frac { 3 } { 2 } } } du = \ int_ { 1 } ^ { 4 } \ frac { u ^ { 2 } – 2 u + 1 } { u ^ { \ frac { 3 } { 2 } } } du \ )
= \ ( ( \ frac { 2 } { 3 } u ^ { \ frac { 3 } { 2 } } – 4. u ^ { \ frac { 1 } { 2 } } – 2 u ^ { \ frac { – 1 } { 2 } } ) | _ { 1 } ^ { 4 } = \ frac { 5 } { 3 } \ )

b) Đặt \(x = sint\), \(0 và \ ( \ sqrt { 1 – x ^ { 2 } } = \ sqrt { 1 – sin ^ { 2 } t } = \ sqrt { cos ^ { 2 } t } = \ left | cost \ right | = cos t. \ )
Khi \ ( x = 0 \ ) thì \ ( t = 0 \ ), khi \ ( x = 1 \ ) thì \ ( t = \ frac { \ pi } { 2 } \ ). Khi đó :
\ ( \ int_ { 0 } ^ { 1 } \ sqrt { 1 – x ^ { 2 } } dx = \ int_ { 0 } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } cos ^ { 2 } tdt = \ frac { 1 } { 2 } \ int_ { 0 } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } ( 1 + cos2t ) dt \ )
\ ( = \ frac { 1 } { 2 } ( t + \ frac { 1 } { 2 } sin 2 t ) | _ { 0 } ^ { \ frac { \ pi } { 2 } } = \ frac { 1 } { 2 } ( \ frac { \ pi } { 2 } – 0 ) = \ frac { \ pi } { 4 } \ )
c ) Đặt : \ ( t = 1 + x { e ^ x } \ Rightarrow dt = { e ^ x } ( 1 + x ) dx \ )
Khi \ ( x = 0 \ Rightarrow t = 1 \ )
Khi \ ( x = 1 \ Rightarrow t = 1 + e \ )
Do đó ta có :
\ ( \ int \ limits_0 ^ 1 { { { { e ^ x } ( 1 + x ) } \ over { 1 + x { e ^ x } } } dx = \ int \ limits_1 ^ { 1 + e } { { { dt } \ over t } = { \ rm { [ } } \ ln | t | { \ rm { ] } } } } \ left | { _1 ^ { 1 + e } = \ ln ( 1 + e ) } \ right. \ ) .
d ) Đặt \ ( x = a \ sin t \ Rightarrow dx = a \ cos tdt \ )

Đổi cận:

\(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = {a \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} \cr} \)

Do đó ta có :
\ ( \ int \ limits_0 ^ { { a \ over 2 } } { { 1 \ over { \ sqrt { { a ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } dx = \ int \ limits_0 ^ { { \ pi \ over 6 } } { { { a \ cos tdt } \ over { \ sqrt { { a ^ 2 } – { a ^ 2 } { { \ sin } ^ 2 } t } } } = \ int \ limits_0 ^ { { \ pi \ over 6 } } { dt = t \ left | { _0 ^ { { \ pi \ over 6 } } = { \ pi \ over 6 } } \ right. } } } \ ) .