tich cua vecto voi mot so 5

Tích của vectơ với một số: Tổng hợp Lý thuyết và Các dạng bài tập

Học tập

Cùng với chủ đề tổng và hiệu của hai vectơ, những nội dung về tích của vectơ với một số cũng là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 10. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết về lý thuyết, các dạng toán cũng như một số bài tập điển hình về tích của vectơ với một số, cùng tìm hiểu nhé!. 

Lý thuyết tích của vectơ với một số

Định nghĩa tích của vectơ với một số

Cho số \ ( k \ ne0 \ ) và vectơ \ ( \ overrightarrow { a } \ ne0 \ ). Tích của vectơ \ ( \ overrightarrow { a } \ ) với số \ ( k \ ) sẽ là một vectơ, được kí hiệu là \ ( k \ overrightarrow { a } \ ), cùng hướng với \ ( \ overrightarrow { a } \ ) nếu \ ( k > 0 \ ), ngược hướng với \ ( \ overrightarrow { a } \ ) nếu \ ( k < 0 \ ) và có độ dài bằng \ ( \ left | k \ right | \ left | \ overrightarrow { a } \ right | \ ) .

Ta quy ước \(0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ \ ( \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } \ ) bất kể, với mọi số \ ( h \ ) và \ ( k \ ), ta có :

  • \ ( k \ left ( \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } \ right ) = k \ overrightarrow { a } + k \ overrightarrow { b } \ )
  • \ ( \ left ( h + k \ right ) \ overrightarrow { a } = h \ overrightarrow { a } + k \ overrightarrow { a } \ )
  • \ ( h \ left ( k \ overrightarrow { a } \ right ) = \ left ( hk \ right ) \ overrightarrow { a } \ )
  • \ ( 1. \ overrightarrow { a } = \ overrightarrow { a } \ )
  • \ ( \ left ( – 1 \ right ). \ overrightarrow { a } = – \ overrightarrow { a } \ )

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

  • Nếu \ ( I \ ) là trung điểm của đoạn thẳng của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có \ ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } = 2 \ overrightarrow { MI } \ )
  • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có \ ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } = 3 \ overrightarrow { MG } \ ) .

Chứng minh :

  • \ ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } = \ left ( \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IA } \ right ) + \ left ( \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IB } \ right ) = \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { IB } = 2 \ overrightarrow { MI } \ ) ( do \ ( \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { IB } = \ overrightarrow { 0 } \ ) )
  • \ ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } = \ left ( \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GA } \ right ) + \ left ( \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GB } \ right ) + \ left ( \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GC } \ right ) = 3 \ overrightarrow { MG } + \ left ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } \ right ) = 3 \ overrightarrow { MG } \ ) ( do \ ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ ) )

Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?

  • Điều kiện để hai vectơ \ ( \ overrightarrow { a } \ ) và \ ( \ overrightarrow { b } \ ) cùng phương \ ( \ left ( \ overrightarrow { b } \ ne \ overrightarrow { 0 } \ right ) \ ) khi và chỉ khi có số \ ( k \ ) thỏa \ ( \ overrightarrow { a } = k \ overrightarrow { b } \ ) .
  • Điều cần và đủ để \ ( A, B, C \ ) thẳng hàng là có số \ ( k \ ) sao cho \ ( \ overrightarrow { AB } = k \ overrightarrow { AC } \ )

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 

Cho hai vectơ \ ( \ overrightarrow { a } \ ) và \ ( \ overrightarrow { b } \ ) không cùng phương và vectơ \ ( \ overrightarrow { x } \ ) tùy ý. Khi đó sống sót hai số thực \ ( h, k \ ) sao cho \ ( \ overrightarrow { x } = h \ overrightarrow { a } + k \ overrightarrow { b } \ )
Chúng minh :
Lấy vectơ \ ( \ overrightarrow { OC } = \ overrightarrow { x } \ ). Lấy \ ( O \ ) là điểm đầu và vẽ hai vectơ \ ( \ overrightarrow { OA } = \ overrightarrow { a } \ ) và \ ( \ overrightarrow { OB } = \ overrightarrow { b } \ ). Từ C kẻ những đường thẳng song song với những đường thẳng OA và OB .

khái niệm tích của vectơ với một số là gì

Ta có : \ ( \ overrightarrow { OC } = \ overrightarrow { OA ’ } + \ overrightarrow { OB ’ } \ ) .
Vì \ ( \ overrightarrow { OA ’ } \ ) và \ ( \ overrightarrow { OA } \ ) cùng phương nên sống sót số h sao cho \ ( \ overrightarrow { OA ’ } = h. \ overrightarrow { OA } \ ) .
\ ( \ overrightarrow { OB ’ } \ ) và \ ( \ overrightarrow { OB } \ ) cùng phương nên sống sót số k sao cho \ ( \ overrightarrow { OB ’ } = k. \ overrightarrow { OB } \ ) .
Vậy \ ( \ overrightarrow { OC } = h. \ overrightarrow { OA } + k. \ overrightarrow { OB } \ )
Hay là \ ( \ overrightarrow { x } = h. \ overrightarrow { a } + k. \ overrightarrow { b } \ ) .

Các dạng toán điển hình về tích của vectơ với một số 

Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số

Phương pháp giải: 

Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số và những quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, phối hợp những định lý pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng .

Ví dụ 1: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\). Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

  1. \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { CB } + \ overrightarrow { MA } \ )
  2. \ ( \ overrightarrow { BA } – \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { BC } \ )
  3. \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } + 2 \ overrightarrow { AC } \ )
  4. \ ( \ frac { 3 } { 4 } \ overrightarrow { MA } + \ frac { 5 } { 2 } \ overrightarrow { MB } \ )

Cách giải: 

lý thuyết tích của vectơ với một số

  1. Do \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { CB } = \ overrightarrow { CM } \ ) suy ra theo quy tắc ba điểm ta có :

\ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { CB } + \ overrightarrow { MA } = \ overrightarrow { CM } + \ overrightarrow { MA } = \ overrightarrow { CA } \ )
Vậy \ ( \ left | \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { CB } + \ overrightarrow { MA } \ right | = \ left | \ overrightarrow { CA } \ right | = a \ )
2. Vì \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { BC } = \ overrightarrow { BM } \ ) ne theo quy tắc trừ ta có \ ( \ overrightarrow { BA } – \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { BC } = \ overrightarrow { BA } – \ overrightarrow { BM } = \ overrightarrow { MA } \ )
Theo định lý Pitago ta có :
\ ( MA = \ sqrt { AB ^ 2 – BM ^ 2 } = \ sqrt { a ^ 2 – \ left ( \ frac { a } { 2 } \ right ) ^ 2 } = \ frac { a \ sqrt3 } { 2 } \ )
Vậy \ ( \ left | \ overrightarrow { BA } – \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { BC } \ right | = \ overrightarrow { MA } = \ frac { a \ sqrt3 } { 2 } \ )
3. Gọi N là trung điểm AB, Q. là điểm đối xứng của A qua C và P. là đỉnh của hình bình hành AQPN .
Khi đó ta có \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { AN }, 2 \ overrightarrow { AC } = \ overrightarrow { AQ } \ ) suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } + 2 \ overrightarrow { AC } = \ overrightarrow { AN } + \ overrightarrow { AQ } = \ overrightarrow { AP } \ )
Gọi L là hình chiếu của A lên QN
Vì \ ( MN \ parallel AC \ Rightarrow \ widehat { ANL } = \ widehat { MNB } = \ widehat { CAB } = 60 ^ \ circ \ ) .
Xét tam giác vuông ANL ta có :
\ ( \ sin { ANL } = \ frac { AL } { AN } \ Rightarrow AL = AN. \ sin { ANL } = \ frac { a } { 2 } \ sin { 60 ^ \ circ } = \ frac { a \ sqrt3 } { 4 } \ )
\ ( \ cos { ANL } = \ frac { NL } { AN } \ Rightarrow NL = AN. \ cos { ANL } = \ frac { a } { 2 } \ cos { 60 ^ \ circ } = \ frac { a } { 4 } \ )
Ta lại có \ ( AQ = PN \ Rightarrow PL = PN + NL = AQ + NL = 2 a + \ frac { a } { 4 } = \ frac { 9 a } { 4 } \ )
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ALP ta có :
\ ( AP ^ 2 = AL ^ 2 + PL ^ 2 = \ frac { 3 a ^ 2 } { 16 } + \ frac { 81 a ^ 2 } { 16 } = \ frac { 21 a ^ 2 } { 4 } \ Rightarrow \ frac { a \ sqrt { 21 } } { 2 } \ )
Vậy \ ( \ left | \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } + 2 \ overrightarrow { AC } \ right | = AP = \ frac { a \ sqrt { 21 } } { 2 } \ )
4. Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho \ ( MK = \ frac { 3 } { 4 } MA \ ), H thuộc tia MB sao cho \ ( \ overrightarrow { MH } = \ frac { 5 } { 2 } \ overrightarrow { MB } \ ) .
Khi đó \ ( \ frac { 3 } { 4 } \ overrightarrow { MA } = \ overrightarrow { MK }, \ frac { 5 } { 2 } \ overrightarrow { MB } = \ overrightarrow { MH } \ )
Do đó \ ( \ frac { 3 } { 4 } \ overrightarrow { MA } – \ frac { 5 } { 2 } \ overrightarrow { MB } = \ overrightarrow { MK } – \ overrightarrow { MH } = \ overrightarrow { HK } \ )
Ta có \ ( MK = \ frac { 3 } { 4 } AM = \ frac { 3 } { 4 }. \ frac { a \ sqrt3 } { 2 } = \ frac { 3 a \ sqrt3 } { 8 }, MH = \ frac { 5 } { 2 } MB = \ frac { 5 } { 2 }. \ frac { a } { 2 } = \ frac { 5 a } { 4 } \ )
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông KMH ta có :
\ ( KH = \ sqrt { MH ^ 2 + MK ^ 2 } = \ sqrt { \ frac { 25 a ^ 2 } { 16 } + \ frac { 27 a ^ 2 } { 64 } } = \ frac { a \ sqrt { 127 } } { 8 } \ )
Vậy \ ( \ left | \ frac { 3 } { 4 } \ overrightarrow { MA } – \ frac { 5 } { 2 } \ overrightarrow { MB } \ right | = KH = \ frac { a \ sqrt { 127 } } { 8 } \ )

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a.

  1. Chứng minh rằng \ ( \ overrightarrow { u } = 4 \ overrightarrow { MA } – 3 \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } – 2 \ overrightarrow { MD } \ ) không phụ thuộc vào vào vị trí điểm M .
  2. Tính độ dài vectơ \ ( \ overrightarrow { u } \ )

Cách giải: 

  1. Gọi O là tâm hình vuông vắn

Theo quy tắc ba điểm ta có :
\ ( \ begin { align } \ nonumber \ overrightarrow { u } và = 4 \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OA } – 3 \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OC } – 2 \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OD } \ \ \ nonumber và = 4 \ overrightarrow { OA } – 3 \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } – 2 \ overrightarrow { OD } \ end { align } \ )
Mà \ ( \ overrightarrow { OD } = – \ overrightarrow { OB }, \ overrightarrow { OC } = – \ overrightarrow { OA } \ ) nên \ ( \ overrightarrow { u } = 3 \ overrightarrow { OA } – \ overrightarrow { OB } \ )
Suy ra \ ( \ overrightarrow { u } \ ) không phụ thuộc vào vào vị trí của điểm M .

bài tập tích của vectơ với một số

2. Lấy điểm \ ( A ’ \ ) trên tia OA sao cho \ ( OA ’ = 3OA \ ) khi đó \ ( \ overrightarrow { OA ’ } = 3 \ overrightarrow { OA } \ ) do đó \ ( \ overrightarrow { u } = \ overrightarrow { OA ’ } – \ overrightarrow { OB } = \ overrightarrow { BA ’ } \ )
Mặt khác \ ( BA ’ = \ sqrt { OB ^ 2 + \ left ( OA ’ \ right ) ^ 2 } = \ sqrt { OB ^ 2 + 9OA ^ 2 } = a \ sqrt5 \ )
Suy ra \ ( \ left | \ overrightarrow { u } \ right | = a \ sqrt5 \ ) .

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ từ dữ liệu đã cho

Phương pháp giải: 

Sử dụng những kiến thức và kỹ năng sau để biến hóa vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc đổi khác tương tự về đẳng thức đúng :

  • Các đặc thù phép toán vectơ
  • Các quy tắc : Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
  • Tính chất trung điểm :

M là trung điểm đoạn thẳng \ ( AB \ Leftrightarrow \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } = \ overrightarrow { 0 } \ )
M là trung điểm đoạn thẳng \ ( AB \ Leftrightarrow \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } = 2 \ overrightarrow { OM } \ ) ( Với O là điểm tùy ý )

  • Tính chất trọng tâm :

G là trọng tâm của tam giác \ ( ABC \ Leftrightarrow \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ )
G là trọng tâm của tam giác \ ( ABC \ Leftrightarrow \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } = \ overrightarrow { OG } \ ) ( Với O là điểm tùy ý )

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: 

  1. \ ( \ overrightarrow { AC } + \ overrightarrow { BD } = 2 \ overrightarrow { IJ } \ )
  2. \ ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OD } = \ overrightarrow { 0 } \ )
  3. \ ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } + \ overrightarrow { MD } = 4 \ overrightarrow { MO } \ ) với M là điểm bất kỳ

Cách giải: 

  1. Theo quy tắc ba điểm ta có :

\ ( \ overrightarrow { AC } = \ overrightarrow { AI } + \ overrightarrow { IJ } + \ overrightarrow { JC } \ )
Tương tự \ ( \ overrightarrow { BD } = \ overrightarrow { BI } + \ overrightarrow { IJ } + \ overrightarrow { JD } \ )
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \ ( \ overrightarrow { AI } + \ overrightarrow { BI } = \ overrightarrow { 0 }, \ overrightarrow { JC } + \ overrightarrow { JD } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Vậy \ ( \ overrightarrow { AC } + \ overrightarrow { BD } = \ overrightarrow { AI } + \ overrightarrow { BI } + \ overrightarrow { JC } + \ overrightarrow { JD } + 2 \ overrightarrow { IJ } = 2 \ overrightarrow { IJ } \ ) ( đpcm )

các dạng toán tích của vectơ với một số

2. Theo hệ thức trung điểm ta có \ ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } = 2 \ overrightarrow { OI }, \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OD } = 2 \ overrightarrow { OJ } \ )
Mặt khác O là trung điểm IJ nên \ ( \ overrightarrow { OI } + \ overrightarrow { OJ } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Suy ra \ ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OD } = 2 \ left ( \ overrightarrow { OI } + \ overrightarrow { OJ } \ right ) = \ overrightarrow { 0 } \ ) ( đpcm )
3. Theo câu 2. ta có \ ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OD } = \ overrightarrow { 0 } \ ) do đó với mọi điểm M thì
\ ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OD } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { MC } + \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { MD } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } + \ overrightarrow { MD } = 4 \ overrightarrow { MO } \ ) ( đpcm )

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng \(a^2.\overrightarrow{GD}+b^2.\overrightarrow{GE}+c^2.\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}\)

Cách giải: 

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy những điểm N, P., Q. sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành GPRN .

chứng minh các đẳng thức từ dữ liệu đã cho

Ta có \ ( a ^ 2. \ overrightarrow { GD } + b ^ 2. \ overrightarrow { GE } + c ^ 2. \ overrightarrow { GF } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow a. GD. \ overrightarrow { GN } + b. GE. \ overrightarrow { GP } + c. GF. \ overrightarrow { GQ } = \ overrightarrow { 0 } ( * ) \ )
Ta có : \ ( a. GD = 2S _ { \ bigtriangleup GBC }, b. GE = 2S _ { \ bigtriangleup GCA }, c. GF = 2S _ { \ bigtriangleup GAB } \ ), mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên \ ( S_ { \ bigtriangleup GBC } = S_ { \ bigtriangleup GCA } = S_ { \ bigtriangleup GAB } \ ) suy ra \ ( a. GD = b. GE = c. GF \ ) .
Vậy \ ( ( * ) \ Leftrightarrow \ overrightarrow { GN } + \ overrightarrow { GP } + \ overrightarrow { GQ } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Ta có \ ( AC = GP = b, PR = BC = a \ ) và \ ( \ widehat { ACB } = \ widehat { GPR } \ ) ( góc có cặp cạnh vuông góc với nhau )
Suy ra \ ( \ bigtriangleup ACB = \ bigtriangleup GPR \ hspace { 0.7 cm } \ left ( c. g. c \ right ) \ )
\ ( \ Rightarrow GR = AB = c \ ) và \ ( \ widehat { PGR } = \ widehat { BAC } \ )
Ta có \ ( \ widehat { QGP } + \ widehat { BAC } = 180 ^ \ circ \ Rightarrow \ widehat { QGP } + \ widehat { GPR } = 180 ^ \ circ \ Rightarrow Q., G, R \ ) thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có :
\ ( \ overrightarrow { GN } + \ overrightarrow { GP } + \ overrightarrow { GQ } = \ overrightarrow { GR } + \ overrightarrow { GQ } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Vậy \ ( a ^ 2. \ overrightarrow { GD } + b ^ 2. \ overrightarrow { GE } + c ^ 2. \ overrightarrow { GF } = \ overrightarrow { 0 } \ ) .

Dạng 3: Xác định điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

  • Ta biến hóa đẳng thức vectơ về dạng \ ( \ overrightarrow { AM } = \ overrightarrow { a } \ ) trong đó điểm A và \ ( \ overrightarrow { a } \ ) đã biết. Khi đó sống sót duy nhất điểm M sao cho \ ( \ overrightarrow { AM } = \ overrightarrow { a } \ ), để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ \ ( \ overrightarrow { a } \ ) suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M .
  • Ta đổi khác về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M, N, P sao cho: 

  1. \ ( 2 \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } = \ overrightarrow { 0 } \ )
  2. \ ( \ overrightarrow { NA } + \ overrightarrow { NB } + \ overrightarrow { NC } + \ overrightarrow { ND } = \ overrightarrow { 0 } \ )
  3. \ ( 3 \ overrightarrow { PA } + \ overrightarrow { PB } + \ overrightarrow { PC } + \ overrightarrow { PD } = \ overrightarrow { 0 } \ )

Cách giải: 

xác định điểm m thỏa mãn đẳng thức cho trước

  1. Gọi I là trung điểm BC suy ra \ ( \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } = 2 \ overrightarrow { MI } \ )

Do đó \ ( 2 \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } = \ overrightarrow { 0 } \ )

\(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}\)

Suy ra M là trung điểm AI
2. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có
\ ( \ overrightarrow { NA } + \ overrightarrow { NB } + \ overrightarrow { NC } + \ overrightarrow { ND } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow2 \ overrightarrow { NK } + 2 \ overrightarrow { NH } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow \ overrightarrow { NK } + \ overrightarrow { NH } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow N \ ) là trung điểm của KH
3. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có \ ( \ overrightarrow { PB } + \ overrightarrow { PC } + \ overrightarrow { PD } = 3 \ overrightarrow { PG } \ )
Suy ra \ ( 3 \ overrightarrow { PA } + \ overrightarrow { PB } + \ overrightarrow { PC } + \ overrightarrow { PD } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow 3 \ overrightarrow { PA } + 3 \ overrightarrow { PG } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow \ overrightarrow { PA } + \ overrightarrow { PG } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow P \ ) là trung điểm của AG .

Ví dụ 2: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực \(\alpha,\beta\) thỏa mãn \(\alpha+\beta\ne0\). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn \(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).

Từ đó, suy ra với bất kỳ điểm M thì \ ( \ alpha \ overrightarrow { MA } + \ beta \ overrightarrow { MB } = \ left ( \ alpha + \ beta \ right ) \ overrightarrow { MI } \ )

Cách giải: 

Ta có : \ ( \ alpha \ overrightarrow { IA } + \ beta \ overrightarrow { IB } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow \ alpha \ overrightarrow { IA } + \ beta \ left ( \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { AB } \ right ) = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow \ left ( \ alpha + \ beta \ right ) \ overrightarrow { IA } + \ beta \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow \ left ( \ alpha + \ beta \ right ) \ overrightarrow { AI } = \ beta \ overrightarrow { AB } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { AI } = \ frac { \ beta } { \ alpha + \ beta } \ overrightarrow { AB } \ )
Vì A, B cố định và thắt chặt nên vectơ \ ( \ frac { \ beta } { \ alpha + \ beta } \ overrightarrow { AB } \ ) không đổi, do đó sống sót duy nhất điểm I thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
Từ đó suy ra \ ( \ alpha \ overrightarrow { MA } + \ beta \ overrightarrow { MB } = \ alpha \ left ( \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IA } + \ \ right ) + \ beta \ left ( \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IB } \ right ) \ \ = \ left ( \ alpha + \ beta \ right ) \ overrightarrow { MI } + \ left ( \ alpha \ overrightarrow { IA } + \ beta \ overrightarrow { IB } \ right ) = \ left ( \ alpha + \ beta \ right ) \ overrightarrow { MI } \ ) ( đpcm ) .

Dạng 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Phương pháp giải: 

Sử dụng đặc thù phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và đặc thù trung điểm, trọng tâm tam giác .

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}\).

  1. Hãy dựng những điểm M, N thỏa mãn nhu cầu \ ( \ overrightarrow { AM } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { CN } = 2 \ overrightarrow { BC } \ )
  2. Hãy nghiên cứu và phân tích \ ( \ overrightarrow { CM }, \ overrightarrow { AN }, \ overrightarrow { MN } \ ) qua những vectơ \ ( \ overrightarrow { a } \ ) và \ ( \ overrightarrow { b } \ )
  3. Gọi I là điểm thỏa : \ ( \ overrightarrow { MI } = \ overrightarrow { CM } \ ) Chứng minh I, A, N thẳng hàng

Cách giải: 

phân tích vecto theo vecto cho trước

  1. Vì \ ( \ overrightarrow { AM } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB } \ ) suy ra M thuộc cạnh AB và \ ( \ overrightarrow { AM } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB } ; \ overrightarrow { CN } = 2 \ overrightarrow { BC } \ ), suy ra N thuộc tia BC và \ ( CN = 2BC \ ) .
  2. Ta có :

\ ( \ begin { align } \ nonumber \ overrightarrow { CM } và = \ overrightarrow { CA } + \ overrightarrow { AM } = – \ overrightarrow { AC } + \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { a } – \ overrightarrow { b } \ \ \ nonumber \ overrightarrow { AN } và = \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { BN } = \ overrightarrow { AB } + 3 \ overrightarrow { BC } = \ overrightarrow { AB } + 3 \ left ( \ overrightarrow { AC } – \ overrightarrow { AB } \ right ) = – 2 \ overrightarrow { a } + 3 \ overrightarrow { b } \ \ \ nonumber \ overrightarrow { MN } và = \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { AN } = – \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { a } – 2 \ overrightarrow { a } + 3 \ overrightarrow { b } = – \ frac { 7 } { 3 } \ overrightarrow { a } + 3 \ overrightarrow { b } \ end { align } \ )
3. Ta có :
\ ( \ overrightarrow { AI } = \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { MI } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { CM } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { a } + \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { a } – \ overrightarrow { b } = – \ frac { 1 } { 3 } \ left ( – 2 \ overrightarrow { a } + 3 \ overrightarrow { b } \ right ) \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AI } = – \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AN } \ Rightarrow A, I, N \ ) thẳng hàng .

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho \(AB=3AM,CD=2CN\) và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AG}\) qua các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)

Cách giải: Ta có: 

\ ( \ begin { align } \ nonumber \ overrightarrow { AN } và = \ overrightarrow { AC } + \ overrightarrow { CN } = \ overrightarrow { AC } – \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } \ \ \ nonumber \ overrightarrow { MN } và = \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { AN } = – \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AC } – \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } \ \ \ nonumber và = – \ frac { 5 } { 6 } \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AC } \ end { align } \ )
Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên
\ ( 3 \ overrightarrow { AG } = \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { AN } + \ overrightarrow { AB } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AB } + \ left ( \ overrightarrow { AC } – \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { AB } \ right ) + \ overrightarrow { AB } = \ frac { 5 } { 6 } \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AC } \ )
Suy ra \ ( \ overrightarrow { AG } = \ frac { 5 } { 18 } \ overrightarrow { AB } + \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { AC } \ )

Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm

Phương pháp giải: 

Để chứng tỏ hai điểm \ ( A_1 \ ) và \ ( A_2 \ ) trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau :
Cách 1 : Chứng minh \ ( \ overrightarrow { A_1A_2 } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Cách 2 : Chứng minh \ ( \ overrightarrow { OA_1 } = \ overrightarrow { OA_2 } \ ) với O là điểm tùy ý .
Để chứng tỏ hai tam giác ABC và A’B ’ C ’ cùng trọng tâm ta làm như sau :
Cách 1 : Chứng minh G là trọng tâm \ ( \ bigtriangleup ABC \ ) trùng với G ’ là trọng tâm \ ( \ bigtriangleup A’B ’ C ’ \ )
Cách 2 : Gọi G là trọng tâm \ ( \ bigtriangleup ABC \ ) ( tức ta có \ ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ ) ) ta đi chứng tỏ \ ( \ overrightarrow { GA ’ } + \ overrightarrow { GB ’ } + \ overrightarrow { GC ’ } = \ overrightarrow { 0 } \ )

Ví dụ 1: Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Cách giải: 

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra \ ( \ overrightarrow { AI } = \ overrightarrow { ID }, \ overrightarrow { CJ } = \ overrightarrow { JB } \ )
Do đó \ ( \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { CD } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { AI } + \ overrightarrow { IJ } + \ overrightarrow { JB } = \ overrightarrow { CJ } + \ overrightarrow { JI } + \ overrightarrow { ID } \ \ \ Leftrightarrow \ overrightarrow { IJ } = \ overrightarrow { JI } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { IJ } = \ overrightarrow { 0 } \ ) hay I trùng với J .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho \(\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA}\). Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cách giải: 

Giả sử \ ( \ frac { AM } { AB } = k \ ) suy ra \ ( \ overrightarrow { AM } = k \ overrightarrow { AB } ; \ overrightarrow { BN } = k \ overrightarrow { BC } ; \ overrightarrow { CP } = k \ overrightarrow { CA } \ )
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \ ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Ta có :
\ ( \ overrightarrow { GM } + \ overrightarrow { GN } + \ overrightarrow { GP } = \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { BN } + \ overrightarrow { GC } + \ overrightarrow { CP } \ \ = \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { BN } + \ overrightarrow { CP } = k \ overrightarrow { AB } + k \ overrightarrow { BC } + k \ overrightarrow { CA } = k \ left ( \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { BC } + \ overrightarrow { CA } \ right ) = \ overrightarrow { 0 } \ )
Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm .

Dạng 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo vectơ ta quy về một trong những dạng sau :

  1. Nếu \ ( \ left | \ overrightarrow { MA } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MB } \ right | \ ) với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB .
  2. Nếu \ ( \ left | \ overrightarrow { MC } \ right | = k \ left | \ overrightarrow { AB } \ right | \ ) với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, nửa đường kính bằng \ ( k. \ left | \ overrightarrow { AB } \ right | \ ) .
  3. Nếu \ ( \ overrightarrow { MA } = k \ overrightarrow { AB } \ ) với A, B, C phân biệt và k là số thực đổi khác thì :
  • M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với \ ( k \ in R \ )
  • M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng \ ( \ overrightarrow { BC } \ ) với \ ( k > 0 \ )
  • M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng \ ( \ overrightarrow { BC } \ ) với \ ( k < 0 \ )

4. Nếu \ ( \ overrightarrow { MA } = k \ overrightarrow { BC }, B \ ne C \ ) với A, B, C thẳng hàng và k biến hóa thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.

  1. Chứng minh rằng sống sót duy nhất điểm I thỏa mãn nhu cầu : \ ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } + 4 \ overrightarrow { IC } = \ overrightarrow { 0 } \ )
  2. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn nhu cầu : \ ( \ left | 2 \ overrightarrow { MA } + 3 \ overrightarrow { MB } + 4 \ overrightarrow { MC } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MB } – \ overrightarrow { MA } \ right | \ )

Cách giải: 

  1. Ta có :

\ ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } + 4 \ overrightarrow { IC } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ left ( \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { AB } \ right ) + 4 \ left ( \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { AC } \ right ) = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow9 \ overrightarrow { IA } = – 3 \ overrightarrow { AB } – 4 \ overrightarrow { AC } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { IA } = – \ frac { 3 \ overrightarrow { AB } + 4 \ overrightarrow { AC } } { 9 } \ Rightarrow I \ ) sống sót và duy nhất .
2. Với I là điểm được xác lập ở câu 1, ta có :
\ ( 2 \ overrightarrow { MA } + 3 \ overrightarrow { MB } + 4 \ overrightarrow { MC } = 9 \ overrightarrow { MI } + \ left ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } + 4 \ overrightarrow { IC } \ right ) = 9 \ overrightarrow { MI } \ ) và \ ( \ overrightarrow { MB } – \ overrightarrow { MA } = \ overrightarrow { AB } \ ) nên \ ( \ left | 2 \ overrightarrow { MA } + 3 \ overrightarrow { MB } + 4 \ overrightarrow { MC } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MB } – \ overrightarrow { MA } \ right | \ Leftrightarrow \ left | 9 \ overrightarrow { MI } \ right | = \ left | \ overrightarrow { AB } \ right | \ Leftrightarrow MI = \ frac { AB } { 9 } \ )
Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I nửa đường kính \ ( \ frac { AB } { 9 } \ )

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}\). Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cách giải: 

Gọi O, O ’ lần lượt là trung điểm của AD và BC .

xác định tính chất của hình khi biết một đặc điểm cho trước

Ta có :
\ ( \ overrightarrow { AB } – \ overrightarrow { AO } + \ overrightarrow { OO ’ } + \ overrightarrow { O’B } \ ) và \ ( \ overrightarrow { DC } – \ overrightarrow { DO } + \ overrightarrow { OO ’ } + \ overrightarrow { O’C } \ )
Suy ra \ ( \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { DC } = 2 \ overrightarrow { OO ’ } \ )
Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên \ ( \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { Doanh Nghiệp } = 2 \ overrightarrow { OI } \ )
Do đó \ ( \ overrightarrow { OI } = \ frac { 1 } { 2 } k \ overrightarrow { AB } + k \ overrightarrow { DC } = k \ overrightarrow { OO ’ } \ )
Vậy k biến hóa, tập hợp điểm I là đường thẳng OO ’ .

Dạng 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Phân tính được định tính xuất phát từ những đẳng thức vectơ của giả thiết, quan tâm tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và tác dụng “ \ ( m \ overrightarrow { a } + n \ overrightarrow { b } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow m = n = 0 \ ) với \ ( \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } \ ) là hai vectơ không cùng phương ”

Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết: \(\overrightarrow{PM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cách giải: 

Ta có :
\ ( \ begin { align } \ nonumber \ overrightarrow { AB } và = \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { MB } = \ overrightarrow { AM } + 5 \ overrightarrow { MP } \ \ \ nonumber và = 5 \ overrightarrow { AP } – 4 \ overrightarrow { AM } = 2 \ overrightarrow { AN } – 2 \ overrightarrow { AD } \ \ \ nonumber và = 2 \ left ( \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { Doanh Nghiệp } \ right ) – 2 \ overrightarrow { AD } \ \ \ nonumber và = 2 \ overrightarrow { Doanh Nghiệp } = \ overrightarrow { DC } \ Rightarrow ABCD \ end { align } \ ) là hình bình hành

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thỏa mãn: \(a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\). Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Cách giải: 

G là trọng tâm tam giác ABC nên :
\ ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { GA } = – \ overrightarrow { GB } – \ overrightarrow { GC } \ )
Suy ra :
\ ( a ^ 2 \ overrightarrow { GA } + b ^ 2 \ overrightarrow { GB } + c ^ 2 \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow a ^ 2 – \ overrightarrow { GB } – \ overrightarrow { GC } + b ^ 2 \ overrightarrow { GB } + c \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ \ \ Leftrightarrow b ^ 2 – a ^ 2 \ overrightarrow { GB } + c ^ 2 – a ^ 2 \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ hspace { 0.7 cm } \ left ( * \ right ) \ )
Vì \ ( \ overrightarrow { GB } \ ) và \ ( \ overrightarrow { GC } \ ) là hai vectơ không cùng phương, do đó ( * ) tương tự với :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } b ^ 2 – a ^ 2 = 0 \ \ c ^ 2 – a ^ 2 = 0 \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow a = b = c \ ) hay tam giác ABC đều .

Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan độ dài vectơ

Phương pháp giải: 

  1. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản :

Với mọi vectơ \ ( \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } \ ) ta luôn có :

  • \ ( \ left | \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } \ right | < \ left | \ overrightarrow { a } \ right | + \ left | \ overrightarrow { b } \ right | \ ), dấu bằng xảy ra khi \ ( \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } \ ) cùng hướng .
  • \ ( \ left | \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } \ right | \ ge \ left | \ overrightarrow { a } \ right | – \ left | \ overrightarrow { b } \ right | \ ), dấu bằng xảy ra khi \ ( \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } \ ) ngược hướng
  1. Đưa bài toán khởi đầu về bài toán tìm cực trị của \ ( \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | \ ) với M đổi khác
  • Nếu M là điểm đổi khác trên đường thẳng \ ( \ Delta \ ) khi đó \ ( \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | \ ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên \ ( \ Delta \ ) .
  • Nếu M là điểm đổi khác trên đường tròn ( O ) khi đó \ ( \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | \ ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường tròn ; \ ( \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | \ ) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn .

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất \(T=\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |\)

Cách giải: 

Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì \ ( \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { IB } – \ overrightarrow { IC } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Khi đó :
\ ( \ begin { align } \ nonumber T và = \ left | \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IB } – \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IC } \ right | \ \ \ nonumber và = \ left | \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { IA } + \ overrightarrow { IB } – \ overrightarrow { IC } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | \ end { align } \ )
Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d .

DINHNGHIA.VN đã cùng bạn tìm hiểu chi tiết và cụ thể về chuyên đề tích của vectơ với một số. Với những nội dung trên đây, mong rằng bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề tích của vectơ với một số. Chúc bạn luôn học tập thật tốt!.

Xem thêm :
Xem chi tiết cụ thể về chuyên đề Tích của vectơ với một số qua bài giảng dưới đây nhé :

(Nguồn: www.youtube.com)

Rate this post

Please follow and like us :

error fb-share-icon
Tweet

fb-share-icon