Giaibaisgk.com 02 8

Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 140 141 sgk Đại số và Giải tích 11

Học tập
Hướng dẫn giải Bài § 3. Hàm số liên tục, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 140 141 sgk Đại số và Giải tích 11 gồm có tổng hợp công thức, kim chỉ nan, giải pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp những em học viên học tốt môn toán lớp 11 .

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng K và \ ( { x_0 } \ in K \ )
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục tại \ ( { x_0 } \ Leftrightarrow \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f ( x ) = f ( { x_0 } ) \ )

Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \({x_0}\) ta nói hàm số gián đoạn tại \({x_0}\)

Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên một khoảng chừng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng chừng đó .
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên đoạn \ ( \ left [ { a ; b } \ right ] \ ) nếu nó liên tục trên \ ( \ left ( { a ; b } \ right ) \ ) và
\ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { a ^ + } } f ( x ) = f ( a ) \ ), \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { b ^ – } } f ( x ) = f ( b ) \ ) .

2. Một số định lí cơ bản

Định lí 1 :
a ) Hàm số đa thức liên tục trên tập R .
b ) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng chừng xác lập của chúng .
Định lí 2 :
Các hàm số \ ( y = f ( x ), { \ rm { } } y = g ( x ) \ ) liên tục tại \ ( { x_0 } \ ). Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương \ ( y = \ frac { { f ( x ) } } { { g ( x ) } } \ ) liên tục nếu \ ( g ( { x_0 } ) \ ne 0 \ ) .
Định lí 3 :
Cho hàm số f liên tục trên đoạn \ ( \ left [ { a ; b } \ right ] \ ) .
Nếu \ ( f ( a ) \ ne f ( b ) \ ) và M là 1 số ít nằm giữa \ ( f ( a ) { \ rm { } }, f ( b ) \ ) thì sống sót tối thiểu 1 số ít \ ( c \ in \ left ( { a ; b } \ right ) \ ) sao cho \ ( f ( c ) = M { \ rm { } } \ )
Hệ quả :
Cho hàm số f liên tục trên đoạn \ ( \ left [ { a ; b } \ right ] \ ) .
Nếu \ ( f ( a ) { \ rm { } } f ( b ) < 0 \ ) thì sống sót tối thiểu 1 số ít \ ( c \ in \ left ( { a ; b } \ right ) \ ) sao cho \ ( f ( c ) = 0 \ ) . Chú ý : Ta hoàn toàn có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau : Cho hàm số f liên tục trên đoạn \ ( \ left [ { a ; b } \ right ] \ ). Nếu \ ( f ( a ) { \ rm { } } f ( b ) < 0 \ ) thì phương trình \ ( f ( x ) = 0 \ ) có tối thiểu một nghiệm thuộc \ ( ( a ; b ) \ ) . Dưới đây là phần Hướng dẫn vấn đáp những câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động giải trí của học viên sgk Đại số và Giải tích 11 .

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang135 sgk Đại số và Giải tích 11

Giaibaisgk.com 50 4

a ) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với số lượng giới hạn ( nếu có ) của hàm số đó khi x → 1 ;
b ) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 .

Trả lời:

a) Ta có: \(f(1) = {1^2} = 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\)

Vì \ ( x = 1 \ ) nên \ ( g ( 1 ) = – 1 ^ 2 + 1 = – 1 + 1 = 0 \ )
Lại có : \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ + } } g \ left ( x \ right ) = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ + } } \ left ( { – { x ^ 2 } + 2 } \ right ) = 1 \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ – } } g \ left ( x \ right ) = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ – } } \ left ( 2 \ right ) = 2 \ ) nên \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ – } } g \ left ( x \ right ) \ ne \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ + } } g \ left ( x \ right ) \ ) và không sống sót số lượng giới hạn \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 1 } g \ left ( x \ right ) \ )

b) Đồ thị hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\)

Đồ thị hàm số \ ( g ( x ) \ ) gián đoạn tại \ ( x = 1 \ )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang138 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong biểu thức xác lập $ h ( x ) USD cho ở Ví dụ 2, cần thay số USD 5 $ bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực USD R USD ?

Trả lời:

Để hàm số liên tục trên \ ( \ mathbb { R } \ ) thì nó phải liên tục tại \ ( x = 1 \ ) hay \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 1 } h \ left ( x \ right ) = h \ left ( 1 \ right ) \ ) \ ( \ Leftrightarrow h \ left ( 1 \ right ) = 2 \ ) .
Vậy cần thay số \ ( 5 \ ) bằng số \ ( 2 \ ) để hàm số liên tục trên \ ( \ mathbb { R } \ ) .

3. Trả lời thắc mắc 3 trang138 sgk Đại số và Giải tích 11

Giả sử hàm số USD y = f ( x ) USD liên tục trên đoạn $ [ a ; b ] $ với $ f ( a ) USD và $ f ( b ) USD trái dấu nhau .
Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng chừng USD ( a ; b ) USD không ?

⦁ Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ phải cắt trục hoành $Ox$ tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng $(a; b)$”. Giaibaisgk.com 52 3

⦁ Bạn Lan khẳng định chắc chắn : “ Đồ thị của hàm số USD y = f ( x ) USD phải cắt trục hoành $ Ox $ tối thiểu tại một điểm nằm khoảng chừng USD ( a ; b ) USD ” .
⦁ Bạn Tuấn thì cho rằng : “ Đồ thị của hàm số USD y = f ( x ) USD hoàn toàn có thể không cắt trục hoành trong khoảng chừng USD ( a ; b ) USD, ví dụ điển hình như đường parabol ở hình ( h. 58 ) .
Câu vấn đáp của bạn nào đúng, vì sao ?

Trả lời:

⦁ Bạn Lan nói đúng vì $ f ( a ) USD và $ f ( b ) USD trái dấu nên sống sót tối thiểu 1 giá trị USD x USD sao cho $ f ( x ) = 0 USD, do đó đồ thị hàm số USD y = f ( x ) USD cắt trục hoành tại tối thiểu 1 điểm .
⦁ Bạn Hưng sai vì hoàn toàn có thể có USD 2 USD giá trị USD x USD sao cho $ f ( x ) = 0 USD .
⦁ Đường parabol trên hình 58 là đồ thị hàm số y2 = x ⇒ đồ thị hàm số USD y = f ( x USD ) sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành .
Khi đó USD f ( a ) USD và $ f ( b ) USD cùng dấu, xích míc với điều kiện kèm theo $ f ( a ) USD và $ f ( b ) USD trái dấu. Ví dụ của Tuấn sai

4. Trả lời thắc mắc 4 trang139 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy tìm hai số USD a $ và USD b USD thỏa mãn nhu cầu USD 1 < a < b < 2 $, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng USD ( a ; b ) USD .

Trả lời:

Ta có : \ ( f \ left ( x \ right ) = { x ^ 3 } + 2 x – 5 \ ) .
Chọn \ ( a = \ dfrac { 5 } { 4 }, b = \ dfrac { 7 } { 4 } \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( 1 < a < b < 2 \ ) . Ta thấy : \ ( f \ left ( { \ dfrac { 5 } { 4 } } \ right ) = – \ dfrac { { 35 } } { { 64 } } < 0, \ ) \ ( f \ left ( { \ dfrac { 7 } { 4 } } \ right ) = \ dfrac { { 247 } } { { 64 } } > 0 \ ) nên \ ( f \ left ( { \ dfrac { 5 } { 4 } } \ right ). f \ left ( { \ dfrac { 7 } { 4 } } \ right ) < 0 \ ) . Vậy trong khoảng chừng \ ( \ left ( { \ dfrac { 5 } { 4 } ; \ dfrac { 7 } { 4 } } \ right ) \ ) thì phương trình \ ( f \ left ( x \ right ) = 0 \ ) có tối thiểu một nghiệm . Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 140 141 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé !

Bài tập

Giaibaisgk. com ra mắt với những bạn khá đầy đủ giải pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải cụ thể bài 1 2 3 4 5 6 trang 140 141 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài § 3. Hàm số liên tục trong Chương IV. Giới hạn cho những bạn tìm hiểu thêm. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập những bạn xem dưới đây :
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 140 141 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 140 sgk Đại số và Giải tích 11

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = x^3+ 2x – 1\) tại \(x_0= 3\).

Bài giải:

Hàm số \ ( f ( x ) = x_3 + 2 x – 1 \ ) xác lập trên \ ( \ mathbb R \ ) và \ ( x_0 = 3 ∈ \ mathbb R \ ) .

\(\underset{x\rightarrow 3}{lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow 3}{lim}( x^3+ 2x – 1) = 3^3+ 2.3 – 1 = f(3)\)
nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x_0= 3\).

2. Giải bài 2 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11

a ) Xét tính liên tục của hàm số \ ( y = g ( x ) \ ) tại \ ( x_0 = 2 \ ), biết
\ ( g ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } \ frac { x ^ { 3 } – 8 } { x – 2 } ; và x \ neq 2 \ \ 5 ; và x = 2 \ end { matrix } \ right. \ ) .
b ) Trong biểu thức xác lập \ ( g ( x ) \ ) ở trên, cần thay số \ ( 5 \ ) bởi số nào để hàm số liên tục tại \ ( x_0 = 2 \ ) .

Bài giải:

a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g(x) = \)\(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{x^{3}-8}{x-2}\) = \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^2+2x + 4) = 2^2+2.2 +4 = 12\).

Vì \ ( \ underset { x \ rightarrow 2 } { \ lim } g ( x ) ≠ g ( 2 ) \ ) nên hàm số \ ( y = g ( x ) \ ) gián đoạn tại \ ( x_0 = 2 \ ) .

b) Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0= 2\) thì ta cần thay số \(5\) bởi số \(12\).

3. Giải bài 3 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \ ( f ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } 3 x + 2 ; và x < - 1 \ \ x ^ { 2 } - 1 và x \ geq - 1 \ end { matrix } \ right. \ ) a ) Vẽ đồ thị của hàm số \ ( y = f ( x ) \ ). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác lập của nó . b ) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng tỏ .

Bài giải:

a) Khi \(x<-1\), đồ thị hàm số là đường thẳng \(y=3x+2\), khi \( x \ge -1\) đồ thị hàm số là parabol \(y=x^2-1\).

Giaibaisgk.com 03 7

Đồ thị hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại \ ( x_0 = – 1 \ ). Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng chừng \ ( ( – ∞ ; – 1 ) \ ) và \ ( ( – 1 ; + ∞ ) \ ) .

b) Ta có:

Nếu \ ( x < - 1 \ ) : \ ( f ( x ) = 3 x + 2 \ ) liên tục trên \ ( ( - ∞ ; - 1 ) \ ) ( vì đây là hàm đa thức ) . Nếu \ ( x > – 1 \ ) : \ ( f ( x ) = x ^ 2 – 1 \ ) liên tục trên \ ( ( – 1 ; + ∞ ) \ ) ( vì đây là hàm đa thức ) .
Tại \ ( x = – 1 \ ) ; Ta có :
\ ( \ underset { x \ rightarrow – 1 ^ { – } } { lim } f ( x ) = \ ) \ ( \ underset { x \ rightarrow – 1 ^ { – } } { lim } ( 3 x + 2 ) = 3 ( – 1 ) + 2 = – 1 \ ) .
\ ( \ underset { x \ rightarrow – 1 ^ { + } } { lim } f ( x ) = \ underset { x \ rightarrow – 1 ^ { + } } { lim } ( x ^ 2 – 1 ) = ( – 1 ) ^ 2 – 1 = 0 \ ) .
Vì \ ( \ underset { x \ rightarrow – 1 ^ { – } } { lim } f ( x ) ≠ \ underset { x \ rightarrow – 1 ^ { + } } { lim } f ( x ) \ ) nên không sống sót \ ( \ underset { x \ rightarrow – 1 } { lim } f ( x ) \ ). Vậy hàm số gián đoạn tại \ ( x_0 = – 1 \ ) .

4. Giải bài 4 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \ ( f ( x ) = \ frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + x-6 } \ ) và \ ( g ( x ) = tanx + sin x \ ) .
Với mỗi hàm số, hãy xác lập những khoảng chừng trên đó hàm số liên tục .

Bài giải:

Hàm số \ ( f ( x ) = \ frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + x-6 } \ ) xác lập khi và chỉ khi \ ( x ^ 2 + x – 6 ≠ 0 \ Leftrightarrow x ≠ – 3 \ ) và \ ( x ≠ 2 \ ) .
Hàm số \ ( f ( x ) \ ) liên tục trên những khoảng chừng \ ( ( – ∞ ; – 3 ), ( – 3 ; 2 ) \ ) và \ ( ( 2 ; + ∞ ) \ )
Hàm số \ ( g ( x ) = tanx + sinx \ ) xác lập khi và chỉ khi \ ( tanx ≠ 0 \ Leftrightarrow x ≠ \ frac { \ pi } { 2 } + kπ \ ) với \ ( k ∈ Z \ ) .
Hàm số \ ( g ( x ) \ ) liên tục trên những khoảng chừng \ ( ( – \ frac { \ pi } { 2 } + kπ ; \ frac { \ pi } { 2 } + kπ ) \ ) với \ ( k ∈ \ mathbb Z \ ) .

5. Giải bài 5 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11

Ý kiến sau đúng hay sai ?
“ Nếu hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục tại điểm \ ( x_0 \ ) còn hàm số \ ( y = g ( x ) \ ) không liên tục tại \ ( x_0 \ ) thì \ ( y = f ( x ) + g ( x ) \ ) là một hàm số không liên tục tại \ ( x_0 \ ) ”

Bài giải:

Ý kiến đúng
Giả sử ngược lại \ ( y = f ( x ) + g ( x ) \ ) liên tục tại \ ( x_0 \ ). Đặt \ ( h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) \ ). Ta có \ ( g ( x ) = h ( x ) – f ( x ) \ ) .
Vì \ ( y = h ( x ) \ ) và \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục tại \ ( x_0 \ ) nên hiệu của chúng là hàm số \ ( y = g ( x ) \ ) phải liên tục tại \ ( x_0 \ ). Điều này trái với giả thiết là \ ( y = g ( x ) \ ) không liên tục tại \ ( x_0 \ ) .

6. Giải bài 6 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng phương trình :
a ) \ ( 2 x ^ 3 – 6 x + 1 = 0 \ ) có tối thiểu hai nghiệm ;
b ) \ ( cosx = x \ ) có nghiệm .

Bài giải:

a) Hàm số \(fx)=2x^3-6x + 1 = 0\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).

Ta có : \ ( f ( 0 ). f ( 1 ) = 1. ( – 3 ) < 0 \ ) nên phương trình có nghiệm trong khoảng chừng \ ( ( 0 ; 1 ) \ ) . \ ( f ( - 2 ). f ( 0 ) = - 5 < 0 \ ) nên phương trình có nghiệm trong khoảng chừng \ ( ( - 2 ; 0 ) \ ) . Do đó phương trình \ ( f ( x ) = 0 \ ) có tối thiểu hai nghiệm .

b) Hàm số \(g(x) = cosx – x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).

Mặt khác, ta có \ ( g ( 0 ). g ( \ frac { \ pi } { 2 } ) = 1. ( – \ frac { \ pi } { 2 } ) < 0 \ ) nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng chừng \ ( ( 0 ; \ frac { \ pi } { 2 } ) \ ) .

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm :
Chúc những bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 140 141 sgk Đại số và Giải tích 11 !
“ Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com “